Rumus Euler pada Teori Graph (Graph Planar)

 
Apakah pembaca ingat, bagaimana rumus euler yang terdapat pada bangun ruang sisi datar.



Dengan S adalah sisi, T adalah titik sudut dan R adalah rusuk.
atau ditulis :
Sisi + Titik Sudut – Rusuk = 2
Rumus tersebut berlaku untuk bangun ruang sisi datar. Tentu saja bukan tabung, kerucut atau bola.


Pada Graph, pada bagian Graph Planar, muncul lagi rumus euler, yaitu
Titik + Daerah – Sisi = 2


Sebelum kembali ke rumus euler, kita singgung sedikit mengenai graph planar.
Apa itu grapah planar? yaitu suatu graph yang bisa digambarkan menjadi suatu graph yang sisinya tidak ada yang bertumpukan.


Perhatikan gambar berikut :
  

 
Perhatikan Gambar. G adalah graph. Perhatikan bahwa sisi eb dan sisi ac pada gambar tersebut bertumpukan/berpotongan (tanda panah biru).
Suatu graph disebut graph planar jika graph tersebut bisa digambarkan dengan tidak ada sisi yang bertumpukan/berpotongan.
Graph G adalah graph planar, karena bisa digambarkan menjadi gambar yang dibawahnya. Tidak ada sisi yang bertumpukan.


Apakah semua graph itu merupakan graph planar? Tidak.
Graph berikut ini bukan merupakan graph planar. Coba saja dibuat gambar graph sehingga tidak ada sisi yang bertumpukan/berpotongan.
  

 
Sudah selesai dengan graph planar. sekarang kita ke daerah dalam graph planar.
Perhatikan gambar :





Gambar tersebut adalah gambar graph planar. Setiap graph planar pasti memiliki faces (saya di sini mengartikan “daerah”). Misalnya daerah Q, dibatasi oleh sisi ec, eb dan bc.
Daerah T dibatasi oleh sisi ae, ed dan da. Dan daerah-daerah yang lain. Dan ada satu daerah yang sangat besar, yaitu daerah terluar, yaitu daerah U. Kita mengatakan bahwa daerah U ini dibatasi oleh sisi ad, dc dan ca.


Rumus Euler pada Graph Planar
Banyak Titik + Banyak Daerah – Banyak Sisi = 2


Pada graph di atas.
Banyak Titik = 5
Banyak Daerah = 6
Banyak Sisi = 9
Hubungannya (Rumus Eulernya pun berlaku), yaitu : 5 + 6 – 9 = 2


Coba saja untuk graph planar yang lainnya. Silahkan mencoba.


Untuk Bukti rumus ini, akan diberikan langkah-langkahnya, yaitu :


Pertama, kita perhatikan Tree (pohon), yabng pasti memiliki 1 daerah, n titik dan n-1 sisi.
Rumus eulernya pun berlaku, yaitu :
Dengan begitu, kita sudah menunjukkan bahwa untuk sebarang tree, maka berlaku rumus euler.


Untuk sebarang graph,
Ambil/Buat Spanning Tree dari sebarang graph tersebut. Tentu saja akan berlaku rumus euler pada sebarang spanning tree tersebut.
Setelah itu tambahkan 1 sisi (sisi yang ditambahkan adalah sisi sehingga nanti terbentuk graph semula).
Penambahan satu sisi, mengakibatkan menambahnya satu daerah. Padahal pada rumus euler, antara sisi dan daerah itu saling mengurangi. Jadi, Rumus Euler pada spanning tree yang ditambahkan satu sisi tersebut itu pun masih berlaku.
Tambahkan sisi selanjutnya, dan seterusnya sampai didapatkan graph sebelumnya (graph awal). Dan tentu saja rumus euler masih berlaku.


‘penambahan satu sisi akan menyebabkan bertambahnya satu daerah, ini tidak akan mengubah rumus eulernya’


Akhirnya, Bapak Euler sangatlah hebat. Ternyata rumus eulernya itu bukan hanya pada bangun ruang sisi datar saja. Tetapi pada graph juga berlaku rumus tersebut.
Angka 2 angkanya euler.

Diambil dari asimtot.com

Assalamualaikum Wr. Wb . .
Alhamdulillahrobbil alamin akhirnya saya dapat mengumpulkan beberapa materi dasar dari ujian nasional.  Materi ini di dapat dari berbagai sumber yang relevan seperti
p4tkmatematika.org
belajar-matematika.com
dan berbagai buku yang relevan. Disini terdapat materi yesuai dengan kisi-kisi ujian nasional tahun 2012. akan tetapi masih banyak kelemahannya karena tidak semua dapat ditampilkan. . . .silahkan di download


Materi Permutasi dan Kombinasi

Materi Barisan dan Deret

Materi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Materi Dasar Matriks

Materi Persamaan Kuadrat

Rumus Praktis Prsamaan Kuadrat


Materi Transformasi Geometri

Dikutib dari wikipedia
Cabang pengkajian yang dikenal sebagai sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asal mula penemuan di dalam matematika dan sedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika di masa silam.
Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton 322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM),^[1] Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM)^[2] dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.
Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika.^[3] Kata "matematika" itu sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα (mathema), yang berarti "mata pelajaran".^[4] Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam.^[5][6] Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini.^[7] Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.
Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.